Фирма с функцией общих затрат TC = 80 + 6Q + Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 22. Рассчитайте максимальную величину прибыли производителя.
Фирма с функцией общих затрат TC = 80 + 6Q + Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 22. Рассчитайте максимальную величину прибыли производителя.
Для определения максимальной величины прибыли производителя, сначала необходимо найти функцию прибыли и затем максимизировать её.
Функция общих затрат (TC): [ TC = 80 + 6Q + Q^2 ] где ( Q ) — количество произведенной продукции.
Функция выручки (TR): Цена продукции ( P ) равна 22, следовательно, функция выручки выглядит так: [ TR = P \cdot Q = 22Q ]
Функция прибыли (( \pi )): Прибыль определяется как разница между выручкой и общими затратами: [ \pi = TR - TC = 22Q - (80 + 6Q + Q^2) ] Упростим выражение: [ \pi = 22Q - 80 - 6Q - Q^2 ] [ \pi = -Q^2 + 16Q - 80 ]
Найдем максимум прибыли: Для этого нужно найти производную функции прибыли и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки: [ \frac{d\pi}{dQ} = -2Q + 16 ] Приравниваем производную к нулю: [ -2Q + 16 = 0 ] [ Q = 8 ]
Проверка второго порядка: Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак второй производной: [ \frac{d^2\pi}{dQ^2} = -2 ] Поскольку вторая производная отрицательна ((-2 < 0)), это означает, что при ( Q = 8 ) функция прибыли достигает максимума.
Вычислим максимальную прибыль: Подставим ( Q = 8 ) в функцию прибыли: [ \pi = -Q^2 + 16Q - 80 ] [ \pi = -(8^2) + 16 \cdot 8 - 80 ] [ \pi = -64 + 128 - 80 ] [ \pi = 64 - 80 ] [ \pi = 48 ]
Таким образом, максимальная величина прибыли производителя составляет 48 денежных единиц.
Для расчета максимальной величины прибыли производителя нужно найти точку, где прибыль достигает своего максимума. Прибыль (п) рассчитывается как разность между выручкой (TR) и общими издержками (TC):
P = TR - TC
Выручка (TR) рассчитывается как произведение цены (P) на количество продукции (Q):
TR = P * Q = 22Q
Общие издержки (TC) указаны в условии задачи:
TC = 80 + 6Q + Q^2
Таким образом, прибыль (P) можно записать как:
P = 22Q - (80 + 6Q + Q^2) = 16Q - Q^2 - 80
Для нахождения максимальной величины прибыли производителя нужно найти производную прибыли по количеству продукции (Q) и приравнять ее к нулю:
dP/dQ = 16 - 2Q = 0
2Q = 16
Q = 8
Таким образом, максимальная величина прибыли производителя достигается при производстве 8 единиц продукции. Для нахождения величины прибыли в этой точке подставим значение Q = 8 в уравнение прибыли:
P = 16*8 - 8^2 - 80 = 128 - 64 - 80 = -16
Следовательно, максимальная прибыль производителя составляет -16 единиц. Это означает, что при данной цене и структуре затрат производитель будет терпеть убытки.
