Предположим, потребительский набор состоит из чая (X) и кофе (Y), а функция полезности потребителя имеет...

Потребитель окажется в состоянии равновесия, если он потратит все свои средства на покупку товаров, то есть если U = 160. Подставим данные из условия и найдем оптимальное потребление:

8X + 4Y = 160 20X + 40Y = 160 X + 2Y = 8 X = 8 - 2Y

Таким образом, оптимальный набор будет X = 4, Y = 2.

Для того чтобы найти равновесие потребителя, необходимо использовать условие равенства предельных полезностей к ценам товаров. Предельная полезность - это изменение полезности при увеличении потребления одного товара на единицу, при условии постоянства потребления других товаров.

Сначала найдем предельные полезности для каждого из товаров: MUx = dU/dX = 8 MUy = dU/dY = 4

Теперь выразим предельные полезности через цены товаров: MUx/Px = MUy/Py 8/20 = 4/40 0.4 = 0.1

Таким образом, равновесие потребителя будет достигнуто в точке, где предельная полезность от потребления чая к цене чая будет равна предельной полезности от потребления кофе к цене кофе. Таким образом, равновесие будет достигнуто при X = 4 и Y = 4.

Проверим это: Потребитель тратит 160 рублей на неделю, при цене за литр чая 20 рублей и за литр кофе 40 рублей: 4 20 + 4 40 = 80 + 160 = 240 рублей 240 рублей равно 160 рублям, поэтому данный набор (4 чая и 4 кофе) является точкой равновесия для потребителя.

Для определения структуры набора (X; Y), при которой потребитель окажется в состоянии равновесия, необходимо учитывать бюджетное ограничение и функцию полезности.

1. Бюджетное ограничение:

   Еженедельные расходы потребителя составляют 160 рублей. Стоимость одного литра чая (X) равна 20 рублям, а стоимость одного литра кофе (Y) равна 40 рублям. Бюджетное ограничение можно записать следующим образом:

   ( 20X + 40Y = 160 )

2. Функция полезности:

   Функция полезности потребителя имеет вид:

   ( U = 8X + 4Y )

   Потребитель стремится максимизировать свою полезность при данном бюджетном ограничении.

3. Определение точки равновесия:

   Для нахождения точки равновесия, найдем маржинальные полезности (MU) для каждого блага:

   [ MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 8 ] [ MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 4 ]

   Теперь определим соотношение предельных полезностей к ценам (условие равновесия по критерию Маршалла):

   [ \frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y} ]

   Подставим значения:

   [ \frac{8}{20} = \frac{4}{40} ]

   [ \frac{2}{5} = \frac{1}{10} ]

   Это условие не выполняется, что указывает на необходимость пересчета в рамках бюджетного ограничения.

4. Решение уравнения бюджетного ограничения:

   Из бюджетного ограничения выразим ( Y ) через ( X ):

   [ 20X + 40Y = 160 ] [ X + 2Y = 8 ] [ Y = 4 - \frac{X}{2} ]

5. Подстановка в функцию полезности:

   Подставим выражение для ( Y ) в функцию полезности:

   [ U = 8X + 4(4 - \frac{X}{2}) ] [ U = 8X + 16 - 2X ] [ U = 6X + 16 ]

   Максимизируем полезность ( U ):

   Поскольку ( U ) линейна по ( X ), максимальная полезность будет достигнута при максимальном значении ( X ) в рамках бюджетного ограничения. Из уравнения ( X + 2Y = 8 ):

   Если ( Y = 0 ), то ( X = 8 ).

   Если ( X = 0 ), то ( Y = 4 ).

   Проверим оба сценария:

   1. ( X = 8, Y = 0 ): [ U = 6 \cdot 8 + 16 = 48 + 16 = 64 ]

   2. ( X = 0, Y = 4 ): [ U = 6 \cdot 0 + 16 = 16 ]

   Полезность при ( X = 8 ) и ( Y = 0 ) выше, чем при ( X = 0 ) и ( Y = 4 ).

Таким образом, потребитель окажется в состоянии равновесия при наборе ( X = 8 ) литров чая и ( Y = 0 ) литров кофе.