Студент тратит в месяц 600 рублей на оплату интернета и приобретение компакт-дисков. диски стоят 60...

Для решения задачи начнем с построения множества покупательских возможностей студента. Рассмотрим два варианта: без разовой оплаты и с разовой оплатой.

Без разовой оплаты (стандартные условия):

1. Бюджетное ограничение:

   Студент тратит 600 рублей в месяц. Стоимость одного часа работы в интернете составляет 10 рублей, а одного компакт-диска — 60 рублей.

   Пусть ( X ) — число часов работы в интернете, а ( Y ) — число купленных компакт-дисков. Тогда бюджетное ограничение можно записать как: [ 10X + 60Y = 600 ]

2. Множество покупательских возможностей:

   Из бюджетного ограничения выразим ( Y ): [ Y = \frac{600 - 10X}{60} ]

   Это уравнение представляет собой множество покупательских возможностей, или бюджетную линию, студента.

С разовой оплатой (альтернативные условия):

1. Бюджетное ограничение:

   Студент платит разово 240 рублей и получает возможность работы в интернете за 5 рублей в час.

   Новое бюджетное ограничение: [ 240 + 5X + 60Y = 600 ]

2. Множество покупательских возможностей:

   Из этого ограничения выразим ( Y ): [ Y = \frac{360 - 5X}{60} ] [ Y = 6 - \frac{X}{12} ]

Оптимальный выбор:

Функция полезности студента имеет вид ( U = XY ). Чтобы найти оптимальный выбор, необходимо максимизировать функцию полезности при данных бюджетных ограничениях.

1. Без разовой оплаты:

   Подставим ( Y ) из бюджетного ограничения в функцию полезности: [ U = X \left( \frac{600 - 10X}{60} \right) ] [ U = \frac{X(600 - 10X)}{60} ] [ U = 10X - \frac{X^2}{6} ]

   Найдем максимум функции, взяв производную и приравняв ее к нулю: [ \frac{dU}{dX} = 10 - \frac{X}{3} = 0 ] [ X = 30 ]

   Подставим ( X = 30 ) обратно в бюджетное ограничение: [ 10(30) + 60Y = 600 ] [ 300 + 60Y = 600 ] [ Y = 5 ]

   Таким образом, оптимальный выбор без разовой оплаты: [ X = 30 \text{ часов}, \quad Y = 5 \text{ компакт-дисков} ]

2. С разовой оплатой:

   Подставим ( Y ) из бюджетного ограничения в функцию полезности: [ U = X \left(6 - \frac{X}{12}\right) ] [ U = 6X - \frac{X^2}{12} ]

   Найдем максимум функции: [ \frac{dU}{dX} = 6 - \frac{X}{6} = 0 ] [ X = 36 ]

   Подставим ( X = 36 ) обратно в бюджетное ограничение: [ 240 + 5(36) + 60Y = 600 ] [ 240 + 180 + 60Y = 600 ] [ 60Y = 180 ] [ Y = 3 ]

   Таким образом, оптимальный выбор с разовой оплатой: [ X = 36 \text{ часов}, \quad Y = 3 \text{ компакт-диска} ]

Изменение разовой оплаты:

1. Разовая оплата увеличивается до 300 рублей:

   Новое бюджетное ограничение: [ 300 + 5X + 60Y = 600 ] [ 5X + 60Y = 300 ] [ Y = 5 - \frac{X}{12} ]

   Аналогично: [ U = X \left(5 - \frac{X}{12}\right) ] [ U = 5X - \frac{X^2}{12} ]

   Найдем максимум: [ \frac{dU}{dX} = 5 - \frac{X}{6} = 0 ] [ X = 30 ]

   Подставим ( X = 30 ) в бюджетное ограничение: [ 300 + 5(30) + 60Y = 600 ] [ 300 + 150 + 60Y = 600 ] [ 60Y = 150 ] [ Y = 2.5 ]

   Оптимальный выбор: [ X = 30 \text{ часов}, \quad Y = 2.5 \text{ компакт-диска} ]

2. Разовая оплата уменьшается до 120 рублей:

   Новое бюджетное ограничение: [ 120 + 5X + 60Y = 600 ] [ 5X + 60Y = 480 ] [ Y = 8 - \frac{X}{12} ]

   Аналогично: [ U = X \left(8 - \frac{X}{12}\right) ] [ U = 8X - \frac{X^2}{12} ]

   Найдем максимум: [ \frac{dU}{dX} = 8 - \frac{X}{6} = 0 ] [ X = 48 ]

   Подставим ( X = 48 ) в бюджетное ограничение: [ 120 + 5(48) + 60Y = 600 ] [ 120 + 240 + 60Y = 600 ] [ 60Y = 240 ] [ Y = 4 ]

   Оптимальный выбор: [ X = 48 \text{ часов}, \quad Y = 4 \text{ компакт-диска} ]

Таким образом, оптимальные комбинации для различных разовых оплат находятся при решении аналогичных уравнений.

Для определения оптимального выбора студента, нужно сравнить затраты на интернет и компакт-диски в двух вариантах: оплата по часам и разовая оплата за весь месяц.

1. Вариант с оплатой по часам: Пусть X - количество часов работы в интернете, Y - количество купленных компакт-дисков. Тогда функция затрат на интернет и компакт-диски будет: 10X + 60Y = 600. Функция полезности: U = XY.

2. Вариант с разовой оплатой за месяц: Пусть Y1 - количество часов работы в интернете при разовой оплате, Y2 - количество купленных компакт-дисков при разовой оплате. Тогда функция затрат на интернет и компакт-диски при разовой оплате будет: 240 + 5Y1 + 60Y2 = 600. Функция полезности: U = Y1*Y2.

Для определения оптимального выбора нужно решить систему уравнений в каждом варианте и выбрать вариант с максимальной полезностью.

Если разовая оплата увеличится до 300 рублей, то нужно изменить соответствующее уравнение и снова решить систему уравнений.

Если разовая оплата уменьшится до 120 рублей, то также нужно изменить соответствующее уравнение и снова решить систему уравнений.

Таким образом, определив оптимальный выбор в каждом варианте, студент сможет минимизировать свои затраты и получить максимальную полезность от потраченных средств.