Вероятность того, что страховой договор завершится выплатой страховой суммы, оценивается как 0,15. Используя...

Рассмотрим задачу о страховых договорах и применим неравенство Чебышева для оценки вероятности отклонения числа договоров, завершившихся выплатой, от среднего числа.

Дано:

• Вероятность того, что страховой договор завершится выплатой, ( p = 0.15 ).
• Общее число договоров ( n = 1000 ).
• Необходимо оценить вероятность того, что число договоров, завершившихся выплатой, отклонится от среднего числа не более чем на 25.

Сначала найдем математическое ожидание и дисперсию числа договоров, завершившихся выплатой.

1. Математическое ожидание (среднее число договоров, завершившихся выплатой): [ \mu = n \cdot p = 1000 \cdot 0.15 = 150 ]

2. Дисперсия: Для биномиального распределения с параметрами ( n ) и ( p ), дисперсия определяется как: [ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1000 \cdot 0.15 \cdot 0.85 = 127.5 ]

3. Стандартное отклонение: [ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{127.5} \approx 11.29 ]

Теперь применим неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева утверждает, что для любого случайного величины ( X ) с математическим ожиданием ( \mu ) и дисперсией ( \sigma^2 ): [ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} ]

Нам нужно оценить вероятность отклонения числа договоров, завершившихся выплатой, от среднего не более чем на 25, то есть: [ P(|X - 150| \geq 25) ]

Преобразуем это выражение в терминах стандартного отклонения: [ P(|X - 150| \geq 25) = P\left(\left|\frac{X - 150}{\sigma}\right| \geq \frac{25}{\sigma}\right) ]

Подставим значение (\sigma): [ \frac{25}{\sigma} = \frac{25}{11.29} \approx 2.21 ]

Таким образом, ( k \approx 2.21 ), и по неравенству Чебышева: [ P\left(\left|\frac{X - 150}{\sigma}\right| \geq 2.21\right) \leq \frac{1}{(2.21)^2} \approx 0.204 ]

Следовательно, вероятность того, что число договоров, завершившихся выплатой, отклонится от среднего числа не более чем на 25, будет: [ P\left(|X - 150| < 25\right) \geq 1 - 0.204 = 0.796 ]

Таким образом, вероятность того, что из 1000 страховых договоров число завершившихся выплатой отклонится от среднего числа таких договоров не более чем на 25, составляет не менее ( 0.796 ) или 79.6%.

Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания. Для данного случая, где вероятность выплаты страховой суммы равна 0,15, математическое ожидание числа страховых договоров, завершившихся выплатой, из 1000 договоров составит 0,15 * 1000 = 150.

Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что отклонение от математического ожидания не превысит k стандартных отклонений, равна не менее чем 1 - 1/k^2. В данном случае, отклонение не более чем на 25 договоров по абсолютной величине означает, что k = 25.

Таким образом, вероятность того, что из 1000 страховых договоров число завершившихся выплатой отклонится от среднего числа таких договоров не более чем на 25, составляет не менее чем 1 - 1/25^2 = 1 - 1/625 = 624/625 ≈ 0,9984. Таким образом, вероятность данного события очень близка к 1, что говорит о высокой вероятности, что отклонение от среднего числа страховых договоров будет невелико.

Вероятность того, что из 1000 страховых договоров число завершившихся выплатой отклонится от среднего числа не более чем на 25 (по абсолютной величине) составляет не менее 0,9375.